Algèbre Exemples

$\frac{2}{3} \cdot (4^{3 x}) - 5 = - 2$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{3} \cdot (4^{3 x}) - 5 + 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (4^{3 x}) - 5 + 2$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2}{3} (4^{3 x})$ .

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Étape 2.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $4^{3 x}$ .

$\frac{2 \cdot 4^{3 x}}{3} - 5 + 2 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{3 x}}{3} - 5 + 2 = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{3 x}$ .

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (3 x)}}{3} - 5 + 2 = 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{6 x}}{3} - 5 + 2 = 0$

Étape 2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + 6 x}}{3} - 5 + 2 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{1 + 6 x}}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3} + 2 = 0$

Étape 2.3

Associez $- 5$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{1 + 6 x}}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{1 + 6 x} - 5 \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Étape 2.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{2^{1 + 6 x} - 15}{3} + 2 = 0$

Étape 3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{1 + 6 x} - 15}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} = 0$

Étape 4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{1 + 6 x} - 15}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{1 + 6 x} - 15 + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2^{1 + 6 x} - 15 + 6}{3} = 0$

Étape 6.2

Additionnez $- 15$ et $6$ .

$\frac{2^{1 + 6 x} - 9}{3} = 0$

Étape 7

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2^{1 + 6 x} - 9 = 0$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{1 + 6 x} = 9$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{1 + 6 x}) = \ln (9)$

Étape 8.3

Développez $\ln (2^{1 + 6 x})$ en déplaçant $1 + 6 x$ hors du logarithme.

$(1 + 6 x) \ln (2) = \ln (9)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1

Simplifiez $(1 + 6 x) \ln (2)$ .

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Étape 8.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (2) + 6 x \ln (2) = \ln (9)$

Étape 8.4.1.2

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$\ln (2) + 6 x \ln (2) = \ln (9)$

Étape 8.5

Remettez dans l’ordre $\ln (2)$ et $6 x \ln (2)$ .

$6 x \ln (2) + \ln (2) = \ln (9)$

Étape 8.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$6 x \ln (2) + \ln (2) - \ln (9) = 0$

Étape 8.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (2) + \ln (\frac{2}{9}) = 0$

Étape 8.8

Soustrayez $\ln (\frac{2}{9})$ des deux côtés de l’équation.

$6 x \ln (2) = - \ln (\frac{2}{9})$

Étape 8.9

Divisez chaque terme dans $6 x \ln (2) = - \ln (\frac{2}{9})$ par $6 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 8.9.1

Divisez chaque terme dans $6 x \ln (2) = - \ln (\frac{2}{9})$ par $6 \ln (2)$ .

$\frac{6 x \ln (2)}{6 \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$

Étape 8.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.9.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x \ln (2)}{6 \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$

Étape 8.9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$

Étape 8.9.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 8.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$

Étape 8.9.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$

Étape 8.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$

Étape 9

Simplifiez $- \frac{\ln (\frac{2}{9})}{6 \ln (2)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $6 \ln (2)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2^{6})}$

Étape 9.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (64)}$