Algèbre Exemples

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} = \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 7$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{14}{y - 7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{2}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 7) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{14}{y - 7}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{y}$ par $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y - 7)} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 y - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $14 y - 2 (y - 7)$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (y - 7)$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (- (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 y) + 2 (- (y - 7))$ .

$\frac{2 (7 y - (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (7 y - y - - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{2 (7 y - y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.4

Soustrayez $y$ de $7 y$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.8

Pour écrire $- \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (y - 7) (y + 7)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ par $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Étape 2.9.3

Réorganisez les facteurs de $y (y - 7) (y + 7)$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Étape 2.9.4

Réorganisez les facteurs de $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (6 y) + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{(12 y + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{(12 y + 14) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.4

Développez $(12 y + 14) (y + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 y (y + 7) + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{12 (y \cdot y) + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.1.2

Multipliez $7$ par $12$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.1.3

Multipliez $14$ par $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.2

Additionnez $84 y$ et $14 y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- (19 y) - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.7

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.8

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y \cdot y - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.10

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.10.1

Déplacez $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 (y \cdot y) - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.10.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y^{2} - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.11

Soustrayez $19 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 98 y + 98 - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.12

Soustrayez $7 y$ de $98 y$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13

Réécrivez $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ en forme factorisée.

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Étape 2.11.13.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ .

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Étape 2.11.13.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 y^{2}$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.2

Factorisez $7$ à partir de $91 y$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.3

Factorisez $7$ à partir de $98$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.4

Factorisez $7$ à partir de $7 (- y^{2}) + 7 (13 y)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.5

Factorisez $7$ à partir de $7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.11.13.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 14 = - 14$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 2.11.13.2.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 y$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 (y) + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2.1.2

Réécrivez $13$ comme $- 1$ plus $14$

$\frac{7 (- y^{2} + (- 1 + 14) y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (- y^{2} - 1 y + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.11.13.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{7 ((- y^{2} - 1 y) + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{7 (y (- y - 1) - 14 (- y - 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y - 1$ .

$\frac{7 ((- y - 1) (y - 14))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (- y - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{7 (- (y) - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y) - 1 (1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (y + 1)$ comme $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{7 (- 1 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.17

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)}$ .

$- \frac{7 (y + 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 (y + 1) (y - 14) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 14 = 0$

Étape 4.2

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 4.3

Définissez $y - 14$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $y - 14$ égal à $0$ .

$y - 14 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 14$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $7 (y + 1) (y - 14) = 0$ vraie.

$y = - 1, 14$