Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} = \frac{4}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4}{x^{2} - 9}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{x^{2} - 9} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{x^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{1}{x + 3} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{3 - x}{3 - x} - \frac{2}{3 - x} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{2}{3 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{3 - x}{3 - x} - \frac{2}{3 - x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (3 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x + 3}$ par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$\frac{3 - x}{(x + 3) (3 - x)} - \frac{2}{3 - x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{3 - x}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 - x}{(x + 3) (3 - x)} - \frac{2 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (3 - x)$ .

$\frac{3 - x}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{2 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - x - 2 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - x - 2 x - 2 \cdot 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 - x - 2 x - 6}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.3

Soustrayez $6$ de $3$ .

$\frac{- x - 2 x - 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.4

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x - 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x - 3$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) - 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x) - 3)} = 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x) - 1 (3))} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{3 (- x - 1)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Étape 2.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Étape 2.11

Pour écrire $\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Étape 2.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.12.1

Multipliez $\frac{3 (- x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1}{(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Étape 2.12.2

Réorganisez les facteurs de $(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1$ .

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} - \frac{4}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} = 0$

Étape 2.12.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (- 1 (- x + 3))$ .

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} - \frac{4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- x - 1) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 (- x) + 3 \cdot - 1) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(- 3 x + 3 \cdot - 1) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(- 3 x - 3) \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{3 x - 3 \cdot - 1 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.14.7

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{3 x - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 1}{(- x + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{3 x - 1}{(- (x) + 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.17

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- \frac{3 x - 1}{(- (x) - 1 (- 3)) (x + 3)} = 0$

Étape 2.18

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$- \frac{3 x - 1}{- (x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.19

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$- \frac{3 x - 1}{- 1 (x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.22

Multipliez $\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)}$ par $1$ .

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$