Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x - 2}} = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x - 2}} - 2$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.2

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.3

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ comme $x - 2$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{3 x} \sqrt{x - 2}}{x - 2} - 2 = 0$

Étape 2.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 x (x - 2)}}{x - 2} - 2 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{3 x (x - 2)}}{x - 2} - 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = 0$

Étape 2.3

Associez $- 2$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{3 x (x - 2)}}{x - 2} + \frac{- 2 (x - 2)}{x - 2} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3 x (x - 2)} - 2 (x - 2)}{x - 2} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3 x (x - 2)} - 2 x - 2 \cdot - 2}{x - 2} = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{\sqrt{3 x (x - 2)} - 2 x + 4}{x - 2} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\sqrt{3 x (x - 2)} - 2 x + 4 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{3 x (x - 2)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x (x - 2)} + 4 = 2 x$

Étape 4.1.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x (x - 2)} = 2 x - 4$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x (x - 2)}}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x (x - 2)}$ comme ${(3 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${({(3 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x (x - 2))}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

${(3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(3 x^{2} + 3 x \cdot - 2)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

${(3 x^{2} - 6 x)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Simplifiez

$3 x^{2} - 6 x = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez ${(2 x - 4)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 4)}^{2}$ comme $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$3 x^{2} - 6 x = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Étape 4.3.3.1.2

Développez $(2 x - 4) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 6 x = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Étape 4.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 6 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Étape 4.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 6 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} - 6 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{2} - 6 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} - 6 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} - 6 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$3 x^{2} - 6 x = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$3 x^{2} - 6 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Étape 4.3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$3 x^{2} - 6 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Étape 4.3.3.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 6 x = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 6 x - 4 x^{2} = - 16 x + 16$

Étape 4.4.1.2

Ajoutez $16 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 6 x - 4 x^{2} + 16 x = 16$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} - 6 x + 16 x = 16$

Étape 4.4.1.4

Additionnez $- 6 x$ et $16 x$ .

$- x^{2} + 10 x = 16$

Étape 4.4.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 10 x - 16 = 0$

Étape 4.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 10 x - 16$ .

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Étape 4.4.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 10 x - 16 = 0$

Étape 4.4.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $10 x$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 16 = 0$

Étape 4.4.3.1.3

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Étape 4.4.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Étape 4.4.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 10 x) - 1 (16)$ .

$- (x^{2} - 10 x + 16) = 0$

Étape 4.4.3.2

Factorisez.

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Étape 4.4.3.2.1

Factorisez $x^{2} - 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 8, - 2$

Étape 4.4.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 8) (x - 2)) = 0$

Étape 4.4.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 8) (x - 2) = 0$

Étape 4.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.4.5

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.5.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 4.4.5.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 4.4.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.4.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 8) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 8, 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\sqrt{3 x (x - 2)} - 2 x + 4}{x - 2} = 0$ vrai.

$x = 8$