Algèbre Exemples

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Étape 1

Réécrivez $k^{\frac{4}{3}}$ comme ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Étape 2

Laissez $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $k^{\frac{2}{3}}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ et dont la somme est $b = - 65$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 65$ à partir de $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 65$ comme $- 1$ plus $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Étape 5

Réécrivez $4 k^{\frac{2}{3}}$ comme ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 k^{\frac{1}{3}}$ et $b = 1$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Étape 8

Réécrivez $k^{\frac{2}{3}}$ comme ${(k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Étape 9

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k^{\frac{1}{3}}$ et $b = 4$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ((k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4)) = 0$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Étape 12

Définissez $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ pour $k$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 k^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 12.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 12.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.3.1.1

Simplifiez ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 k^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.4

Simplifiez

$8 k = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 k = - 1$

Étape 12.2.4

Divisez chaque terme dans $8 k = - 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 12.2.4.1

Divisez chaque terme dans $8 k = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 12.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 12.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 12.2.4.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Étape 12.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$k = - \frac{1}{8}$

Étape 13

Définissez $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ égal à $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ pour $k$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 k^{\frac{1}{3}} = 1$

Étape 13.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 13.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 13.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.3.1.1

Simplifiez ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 13.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 k^{1} = 1^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.4

Simplifiez

$8 k = 1^{3}$

Étape 13.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 k = 1$

Étape 13.2.4

Divisez chaque terme dans $8 k = 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 13.2.4.1

Divisez chaque terme dans $8 k = 1$ par $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 13.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 13.2.4.2.1.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Étape 14

Définissez $k^{\frac{1}{3}} + 4$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Définissez $k^{\frac{1}{3}} + 4$ égal à $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ pour $k$ .

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Étape 14.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$k^{\frac{1}{3}} = - 4$

Étape 14.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Étape 14.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 14.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.1.1

Simplifiez ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Étape 14.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Étape 14.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$k^{1} = {(- 4)}^{3}$

Étape 14.2.3.1.1.2

Simplifiez

$k = {(- 4)}^{3}$

Étape 14.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.3.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$k = - 64$

Étape 15

Définissez $k^{\frac{1}{3}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 15.1

Définissez $k^{\frac{1}{3}} - 4$ égal à $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Étape 15.2

Résolvez $k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ pour $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$k^{\frac{1}{3}} = 4$

Étape 15.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Étape 15.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1

Simplifiez ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Étape 15.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Étape 15.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$k^{1} = 4^{3}$

Étape 15.2.3.1.1.2

Simplifiez

$k = 4^{3}$

Étape 15.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$k = 64$

Étape 16

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ vraie.

$k = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, - 64, 64$