Algèbre Exemples

$x = 3 + \sqrt{x^{2} - 9}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x - 3 = \sqrt{x^{2} - 9}$

Étape 1.2

Soustrayez $\sqrt{x^{2} - 9}$ des deux côtés de l’équation.

$x - 3 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x - 3 - \sqrt{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x - 3 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = - x$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} = - x + 3$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ comme ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- {(x (x - 3) + 3 (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- {(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${(- {(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

${(- {(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

${(- {(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

${(- {(x \cdot x + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(- {(x^{2} + 3 \cdot - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3.3

Multipliez ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3.4

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.2.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez

$x^{2} - 9 = {(- x + 3)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(- x + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(- x + 3)}^{2}$ comme $(- x + 3) (- x + 3)$ .

$x^{2} - 9 = (- x + 3) (- x + 3)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(- x + 3) (- x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 9 = - x (- x + 3) + 3 (- x + 3)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 9 = - x (- x) - x \cdot 3 + 3 (- x + 3)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 9 = - x (- x) - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 9 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - 9 = 1 x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - x \cdot 3 + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x + 3 (- x) + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x - 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 5.3.1.3.1.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 9 = x^{2} - 6 x + 9$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 9$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} = - 9$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 6 x + 9 - x^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 6 x + 9 + 0 = - 9$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 6 x + 9$ et $0$ .

$- 6 x + 9 = - 9$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x = - 9 - 9$

Étape 6.3.2

Soustrayez $9$ de $- 9$ .

$- 6 x = - 18$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $- 6 x = - 18$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x = - 18$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Divisez $- 18$ par $- 6$ .

$x = 3$