Algèbre Exemples

$36 x^{4} = 85 x^{2} - 49$

Étape 1

Soustrayez $85 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$36 x^{4} - 85 x^{2} = - 49$

Étape 2

Ajoutez $49$ aux deux côtés de l’équation.

$36 x^{4} - 85 x^{2} + 49 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$36 {(x^{2})}^{2} - 85 x^{2} + 49 = 0$

Étape 3.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$36 u^{2} - 85 u + 49 = 0$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 36 \cdot 49 = 1764$ et dont la somme est $b = - 85$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 85$ à partir de $- 85 u$ .

$36 u^{2} - 85 u + 49 = 0$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 85$ comme $- 36$ plus $- 49$

$36 u^{2} + (- 36 - 49) u + 49 = 0$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 u^{2} - 36 u - 49 u + 49 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(36 u^{2} - 36 u) - 49 u + 49 = 0$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$36 u (u - 1) - 49 (u - 1) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$(u - 1) (36 u - 49) = 0$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (36 x^{2} - 49) = 0$

Étape 3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (36 x^{2} - 49) = 0$

Étape 3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (36 x^{2} - 49) = 0$

Étape 3.7

Réécrivez $36 x^{2}$ comme ${(6 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(6 x)}^{2} - 49) = 0$

Étape 3.8

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(6 x)}^{2} - 7^{2}) = 0$

Étape 3.9

Factorisez.

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Étape 3.9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6 x$ et $b = 7$ .

$(x + 1) (x - 1) ((6 x + 7) (6 x - 7)) = 0$

Étape 3.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (6 x + 7) (6 x - 7) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$6 x + 7 = 0$

$6 x - 7 = 0$

Étape 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Définissez $6 x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $6 x + 7$ égal à $0$ .

$6 x + 7 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $6 x + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 7$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = - 7$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 7$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 7}{6}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 7}{6}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{6}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7}{6}$

Étape 8

Définissez $6 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $6 x - 7$ égal à $0$ .

$6 x - 7 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $6 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 7$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 7$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 7$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{6}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (6 x + 7) (6 x - 7) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - \frac{7}{6}, \frac{7}{6}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 1, 1, - \frac{7}{6}, \frac{7}{6}$

Forme décimale :

$x = - 1, 1, - 1.1\overline{6}, 1.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$x = - 1, 1, - 1 \frac{1}{6}, 1 \frac{1}{6}$