Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 6 x + 5} \div \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 7 x + 10}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 6 x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x^{2} - 6 x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 5, - 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{x^{2} + 2 x - 3}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 6.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{x - 1}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 2}{(x - 5) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 2)}{x - 1}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 1}$

Étape 8

Multipliez $\frac{x - 2}{x - 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 9

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{1} (x - 2)}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 10

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 2)}^{1 + 1}}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 13

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

Étape 14

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 17

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 18

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 19.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 19.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 19.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 20

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 21

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 1)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 4 x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 22

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{4 x}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$