Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $a^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{a^{2}} a^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}) a^{2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $a^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} a^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}) a^{2}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = (1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}) a^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}) a^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 1 a^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} a^{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = a^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} a^{2}$

Étape 3.2.1.3

Associez $a^{2}$ et $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ .

$x^{2} = a^{2} - \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Remettez dans l’ordre $a^{2}$ et $- \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}}$ .

$x^{2} = - \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}} + a^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}} + a^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}} + a^{2}}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $- \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}} + a^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $- \frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}}$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (- \frac{y^{2}}{b^{2}}) + a^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (- \frac{y^{2}}{b^{2}}) + a^{2} \cdot 1}$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} (- \frac{y^{2}}{b^{2}}) + a^{2} \cdot 1$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (- \frac{y^{2}}{b^{2}} + 1)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (- \frac{y^{2}}{b^{2}} + 1^{2})}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ comme ${(\frac{y}{b})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (- {(\frac{y}{b})}^{2} + 1^{2})}$

Étape 4.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{y}{b})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (1^{2} - {(\frac{y}{b})}^{2})}$

Étape 4.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{y}{b}$ .

$x = \pm \sqrt{a^{2} (1 + \frac{y}{b}) (1 - \frac{y}{b})}$

Étape 4.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{a^{2} (\frac{b}{b} + \frac{y}{b}) (1 - \frac{y}{b})}$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{a^{2} \frac{b + y}{b} (1 - \frac{y}{b})}$

Étape 4.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{a^{2} \frac{b + y}{b} (\frac{b}{b} - \frac{y}{b})}$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{a^{2} \frac{b + y}{b} \frac{b - y}{b}}$

Étape 4.2.8

Associez les exposants.

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Étape 4.2.8.1

Associez $a^{2}$ et $\frac{b + y}{b}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} (b + y)}{b} \cdot \frac{b - y}{b}}$

Étape 4.2.8.2

Multipliez $\frac{a^{2} (b + y)}{b}$ par $\frac{b - y}{b}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} (b + y) (b - y)}{b \cdot b}}$

Étape 4.2.8.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} (b + y) (b - y)}{b^{1} b}}$

Étape 4.2.8.4

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} (b + y) (b - y)}{b^{1} b^{1}}}$

Étape 4.2.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} (b + y) (b - y)}{b^{1 + 1}}}$

Étape 4.2.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} (b + y) (b - y)}{b^{2}}}$

Étape 4.2.9

Réécrivez $\frac{a^{2} (b + y) (b - y)}{b^{2}}$ comme ${(\frac{a}{b})}^{2} ((b + y) (b - y))$ .

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Étape 4.2.9.1

Factorisez la puissance parfaite $a^{2}$ dans $a^{2} (b + y) (b - y)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} ((b + y) (b - y))}{b^{2}}}$

Étape 4.2.9.2

Factorisez la puissance parfaite $b^{2}$ dans $b^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{a^{2} ((b + y) (b - y))}{b^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.2.9.3

Réorganisez la fraction $\frac{a^{2} ((b + y) (b - y))}{b^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{2} ((b + y) (b - y))}$

Étape 4.2.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{a}{b} \sqrt{(b + y) (b - y)}$

Étape 4.2.11

Associez $\frac{a}{b}$ et $\sqrt{(b + y) (b - y)}$ .

$x = \pm \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

Étape 4.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

Étape 4.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

$x = - \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

$x = \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

$x = - \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

$x = \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$

$x = - \frac{a \sqrt{(b + y) (b - y)}}{b}$