Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt{x - 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{x - 5}$ comme une équation.

$y = \sqrt{x - 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y - 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y - 5} = x$ .

$\sqrt{y - 5} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y - 5}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 5}$ comme ${(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 5)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y - 5 = x^{2}$

Étape 3.4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} + 5$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} + 5$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x - 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = {(\sqrt{x - 5})}^{2} + 5$

Étape 5.2.3

Réécrivez ${\sqrt{x - 5}}^{2}$ comme $x - 5$ .

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Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = {(x - 5)}^{\frac{2}{2}} + 5$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = (x - 5) + 5$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = x - 5 + 5$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} + 5) = \sqrt{(x^{2} + 5) - 5}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (x^{2} + 5) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (x^{2} + 5) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} + 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} + 5$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 5$