Algèbre Exemples

$\frac{2}{x - y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{y^{2} - x^{2}}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{2}{x - y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{2}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{2}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{3}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - y) (x + y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{x - y}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{3}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{x + y}$ par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + y) + 3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 y + 3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 y + 3 x + 3 (- y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 x + 2 y + 3 x - 3 y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6.4

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$\frac{5 x + 2 y - 3 y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6.5

Soustrayez $3 y$ de $2 y$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y) - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y) - (x)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y + x)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 9

Pour écrire $- \frac{5}{- 1 (x - y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{5}{- 1 (x - y)}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{5 (x + y)}{- 1 (x - y) (x + y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 10.3

Réorganisez les facteurs de $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{5 (x + y)}{- 1 (x - y) (x + y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 10.4

Réorganisez les facteurs de $- 1 (x - y) (x + y)$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot - 1 - y \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5 x - y \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.3

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 12.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 x + 1 y - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{- 5 x + y - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 x + y - 5 x - 5 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.5

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + y - 5 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.6

Soustrayez $5 y$ de $y$ .

$\frac{- 10 x - 4 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.7

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x - 4 y$ .

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Étape 12.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x) - 4 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2 y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.1.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5 x) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- 5 x - 2 y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 13

Simplifiez en factorisant.

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Étape 13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (y - x)}$

Étape 13.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y) - x)}$

Étape 13.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y) - (x))}$

Étape 13.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - (x)$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y + x))}$

Étape 13.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Étape 14

Pour écrire $- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Étape 15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Étape 15.2

Réorganisez les facteurs de $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Étape 15.3

Réorganisez les facteurs de $(x + y) (- 1 (x - y))$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1 - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1 - (7 x - 9 y)$ .

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Étape 17.1.1

Déplacez $- 5 x - 2 y$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1 (- 5 x - 2 y) - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \cdot - 1 (- 5 x - 2 y)$ .

$\frac{- (- 2 (- 5 x - 2 y)) - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 (- 5 x - 2 y)) - (7 x - 9 y)$ .

$\frac{- (- 2 (- 5 x - 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (- 2 (- 5 x) - 2 (- 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.3

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{- (10 x - 2 (- 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{- (10 x + 4 y + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.5

Additionnez $10 x$ et $7 x$ .

$\frac{- (17 x + 4 y - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 17.6

Soustrayez $9 y$ de $4 y$ .

$\frac{- (17 x - 5 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Étape 18

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{17 x - 5 y}{(x + y) (x - y)}$