Algèbre Exemples

$| x^{3} - 10 x^{2} |$

Étape 1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x^{3} - 10 x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 10 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 10 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{2} x - 10 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 10 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 10 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 10$ .

$x^{2} (x - 10) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, 10$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 10$

$x > 10$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} - 10 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

${(5)}^{3} - 10 {(5)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 125$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

${(12)}^{3} - 10 {(12)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $288$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 10$ Faux

$x > 10$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 10$ Faux

$x > 10$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq 10$ ou $x = 0$

Étape 2.10

Associez les intervalles.

$x = 0 or x \geq 10$

Étape 3

Dans la partie où $x^{3} - 10 x^{2}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x^{3} - 10 x^{2}$

Étape 4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x^{3} - 10 x^{2} < 0$

Étape 5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 10 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 10 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{2} x - 10 x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 10 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 10 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 10$ .

$x^{2} (x - 10) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, 10$

Étape 5.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 10$

$x > 10$

Étape 5.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} - 10 {(- 2)}^{2} < 0$

Étape 5.8.1.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 5.8.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

${(5)}^{3} - 10 {(5)}^{2} < 0$

Étape 5.8.2.3

Le côté gauche $- 125$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 5.8.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

${(12)}^{3} - 10 {(12)}^{2} < 0$

Étape 5.8.3.3

Le côté gauche $288$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

Étape 5.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $0 < x < 10$

Étape 6

Dans la partie où $x^{3} - 10 x^{2}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x^{3} - 10 x^{2})$

Étape 7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x^{3} - 10 x^{2} & x = 0 or x \geq 10 \\ - (x^{3} - 10 x^{2}) & x < 0 or 0 < x < 10 \end{cases}$

Étape 8

Simplifiez $- (x^{3} - 10 x^{2})$ .

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x^{3} - 10 x^{2} & x = 0 or x \geq 10 \\ - x^{3} - (- 10 x^{2}) & x < 0 or 0 < x < 10 \end{cases}$

Étape 8.2

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

${\begin{cases} x^{3} - 10 x^{2} & x = 0 or x \geq 10 \\ - x^{3} + 10 x^{2} & x < 0 or 0 < x < 10 \end{cases}$