Algèbre Exemples

${(2 + 5 n^{2})}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(5 n^{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(5 n^{2})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(5 n^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2)}^{2}$ par $1$ .

${(2)}^{2} \cdot {(5 n^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot {(5 n^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $5 n^{2}$ .

$4 \cdot (5^{0} {(n^{2})}^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot (1 {(n^{2})}^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.5

Multipliez ${(n^{2})}^{0}$ par $1$ .

$4 \cdot {(n^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.6

Multipliez les exposants dans ${(n^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot n^{2 \cdot 0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 \cdot n^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.9

Évaluez l’exposant.

$4 + 2 \cdot 2 \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 4 \cdot {(5 n^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.11

Simplifiez

$4 + 4 \cdot (5 n^{2}) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.12

Multipliez $5$ par $4$ .

$4 + 20 n^{2} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.13

Multipliez ${(2)}^{0}$ par $1$ .

$4 + 20 n^{2} + {(2)}^{0} \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.14

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 + 20 n^{2} + 1 \cdot {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.15

Multipliez ${(5 n^{2})}^{2}$ par $1$ .

$4 + 20 n^{2} + {(5 n^{2})}^{2}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $5 n^{2}$ .

$4 + 20 n^{2} + 5^{2} {(n^{2})}^{2}$

Étape 4.17

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$4 + 20 n^{2} + 25 {(n^{2})}^{2}$

Étape 4.18

Multipliez les exposants dans ${(n^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.18.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 20 n^{2} + 25 n^{2 \cdot 2}$

Étape 4.18.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 20 n^{2} + 25 n^{4}$