Algèbre Exemples

${(x + (3 + 5 i))}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(x)}^{2 - k} \cdot {(3 + 5 i)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} {(x)}^{2 - 0} \cdot {(3 + 5 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} {(x)}^{2 - 1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} {(x)}^{2 - 2} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(3 + 5 i)}^{0} + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{2}$ par $1$ .

${(x)}^{2} \cdot {(3 + 5 i)}^{0} + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} \cdot 1 + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 2 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.4

Simplifiez

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot {(3 + 5 i)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.5

Simplifiez

$x^{2} + 2 x \cdot (3 + 5 i) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x \cdot 3 + 2 x (5 i) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} + 6 x + 2 x (5 i) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.8

Multipliez $5$ par $2$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.9

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + {(x)}^{0} \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 1 \cdot {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.11

Multipliez ${(3 + 5 i)}^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + {(3 + 5 i)}^{2}$

Étape 4.12

Réécrivez ${(3 + 5 i)}^{2}$ comme $(3 + 5 i) (3 + 5 i)$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + (3 + 5 i) (3 + 5 i)$

Étape 4.13

Développez $(3 + 5 i) (3 + 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 3 (3 + 5 i) + 5 i (3 + 5 i)$

Étape 4.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 3 \cdot 3 + 3 (5 i) + 5 i (3 + 5 i)$

Étape 4.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 3 \cdot 3 + 3 (5 i) + 5 i \cdot 3 + 5 i (5 i)$

Étape 4.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.14.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 3 (5 i) + 5 i \cdot 3 + 5 i (5 i)$

Étape 4.14.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 5 i \cdot 3 + 5 i (5 i)$

Étape 4.14.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 5 i (5 i)$

Étape 4.14.1.4

Multipliez $5 i (5 i)$ .

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Étape 4.14.1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 i i$

Étape 4.14.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 (i^{1} i)$

Étape 4.14.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 (i^{1} i^{1})$

Étape 4.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 i^{1 + 1}$

Étape 4.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 i^{2}$

Étape 4.14.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i + 25 \cdot - 1$

Étape 4.14.1.6

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i + 9 + 15 i + 15 i - 25$

Étape 4.14.2

Soustrayez $25$ de $9$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i - 16 + 15 i + 15 i$

Étape 4.14.3

Additionnez $15 i$ et $15 i$ .

$x^{2} + 6 x + 10 x i - 16 + 30 i$