Algèbre Exemples

$\frac{2 + i}{3 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + i}{3 - i}$ par le conjugué de $3 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(2 + i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(2 + i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 + i) + i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 i + i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 i + i \cdot 3 + i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 i + i \cdot 3 + i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 \cdot i + i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{1} i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{1} i^{1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{2}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i - 1}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{5 + 2 i + 3 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $2 i$ et $3 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(3 - i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{10}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $5 + 5 i$ et $10$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 i}{10}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (i)}{10}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 1 + 5 (i)$ .

$\frac{5 \cdot (1 + i)}{10}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot (1 + i)}{5 (2)}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot (1 + i)}{5 \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + i}{2}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{1 + i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$