Algèbre Exemples

$x^{4} - x^{2} + 4 x - 4$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{2} + 4 x - 4$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + 4 x - 4$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 4 x - 4$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + 4 x - 4$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + 4 x - 4$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + 4 x - 4$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 x - 4$

Étape 5

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 4$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x) - 4$

Étape 5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x) + 4 (- 1)$

Étape 5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1)$

Étape 6

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + 4 (x - 1)$

Étape 6.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $4 (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 6.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) \cdot 4$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + 4)$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4)$

Étape 8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 4)$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 4)$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4)$

Étape 9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4)$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Factorisez $x^{3} + x^{2} + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 10.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 10.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} + 4$

Étape 10.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} + 4$

Étape 10.1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 4 + 4$

Étape 10.1.3.4

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 4 + 4$

Étape 10.1.3.5

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 10.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} + 4}{x + 2}$

Étape 10.1.5

Divisez $x^{3} + x^{2} + 4$ par $x + 2$ .

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Étape 10.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 10.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Étape 10.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 10.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 10.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 10.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 10.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 10.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 10.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 10.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Étape 10.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$4$

Étape 10.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$4$

Étape 10.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	+	$4$

Étape 10.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 4$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	-	$4$

Étape 10.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	-	$4$
										$0$

Étape 10.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x + 2$

Étape 10.1.6

Écrivez $x^{3} + x^{2} + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 2))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 2)$