Algèbre Exemples

$9 x^{4} = 25 x^{2} - 16$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $25 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{4} - 25 x^{2} = - 16$

Étape 1.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{4} - 25 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$9 {(x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 16 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$9 u^{2} - 25 u + 16 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 16 = 144$ et dont la somme est $b = - 25$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 25 u$ .

$9 u^{2} - 25 u + 16 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 25$ comme $- 9$ plus $- 16$

$9 u^{2} + (- 9 - 16) u + 16 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} - 9 u - 16 u + 16 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} - 9 u) - 16 u + 16 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$9 u (u - 1) - 16 (u - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$(u - 1) (9 u - 16) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (9 x^{2} - 16) = 0$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (9 x^{2} - 16) = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (9 x^{2} - 16) = 0$

Étape 8

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(3 x)}^{2} - 16) = 0$

Étape 9

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(3 x)}^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 4$ .

$(x + 1) (x - 1) ((3 x + 4) (3 x - 4)) = 0$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (3 x + 4) (3 x - 4) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$3 x + 4 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Étape 12

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 13

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 14

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 14.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 14.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 14.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 15

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 15.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 15.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 15.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 15.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 15.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 16

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (3 x + 4) (3 x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}$