Algèbre Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} + 16 x + 4 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$- 4 x^{3} + 16 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 16 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Étape 1.7

Factorisez $u^{2} - 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Étape 1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.12

Factorisez.

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Étape 1.12.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.13

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 1.13.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.13.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.13.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.14

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x (x - 1) + 1 (x - 1)) = 0$

Étape 1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = 0$

Étape 1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.15.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.15.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.15.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.15.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.15.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + x - 1) = 0$

Étape 1.15.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} + 0 - 1) = 0$

Étape 1.15.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Définissez $x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 2, 2, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = - 2, 2, 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$

Étape 8