Algèbre Exemples

$16 x^{4} - 81 = 0$

Étape 1

Réécrivez $16 x^{4}$ comme ${(4 x^{2})}^{2}$ .

${(4 x^{2})}^{2} - 81 = 0$

Étape 2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

${(4 x^{2})}^{2} - 9^{2} = 0$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x^{2}$ et $b = 9$ .

$(4 x^{2} + 9) (4 x^{2} - 9) = 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$(4 x^{2} + 9) ({(2 x)}^{2} - 9) = 0$

Étape 4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(4 x^{2} + 9) ({(2 x)}^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 4.3

Factorisez.

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Étape 4.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$(4 x^{2} + 9) ((2 x + 3) (2 x - 3)) = 0$

Étape 4.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(4 x^{2} + 9) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x^{2} + 9 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 6

Définissez $4 x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $4 x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$4 x^{2} + 9 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $4 x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = - 9$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = - 9$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = - 9$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 9}{4}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 9}{4}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{4}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{9}{4}$

Étape 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{9}{4}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{9}{4}}$ .

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Étape 6.2.4.1

Réécrivez $- \frac{9}{4}$ comme ${(\frac{3 i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{3 i}{2})}^{2}}$

Étape 6.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3 i}{2}$

Étape 6.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{3 i}{2}$

Étape 6.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{3 i}{2}$

Étape 6.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 i}{2}, - \frac{3 i}{2}$

Étape 7

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 8

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x^{2} + 9) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 i}{2}, - \frac{3 i}{2}, - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}$