Algèbre Exemples

$\frac{3 x + 3}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 3}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (x) + 3 (1)}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 (x + 1)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $3 (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 3}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{x - 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 1}{x + 1}$

Étape 2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4}{x + 1}$