Algèbre Exemples

${(3 x^{2} + 2 y^{3})}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - k} \cdot {(2 y^{3})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3 x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3 x^{2})}^{4} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3 x^{2})}^{4}$ par $1$ .

${(3 x^{2})}^{4} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$3^{4} {(x^{2})}^{4} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 {(x^{2})}^{4} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{4}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{2 \cdot 4} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$81 x^{8} \cdot {(2 y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $2 y^{3}$ .

$81 x^{8} \cdot (2^{0} {(y^{3})}^{0}) + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 \cdot 2^{0} x^{8} {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 \cdot 1 x^{8} {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 x^{8} {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{0}$ .

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Étape 4.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} y^{3 \cdot 0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.9.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$81 x^{8} y^{0} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.11

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{3} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.12

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (3^{3} {(x^{2})}^{3}) \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.13

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 {(x^{2})}^{3}) \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.14.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 x^{2 \cdot 3}) \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.14.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$81 x^{8} + 4 \cdot (27 x^{6}) \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $27$ par $4$ .

$81 x^{8} + 108 x^{6} \cdot {(2 y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.16

Simplifiez

$81 x^{8} + 108 x^{6} \cdot (2 y^{3}) + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 x^{8} + 108 \cdot 2 x^{6} y^{3} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $108$ par $2$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 6 \cdot {(3 x^{2})}^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 6 \cdot (3^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.20

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 6 \cdot (9 {(x^{2})}^{2}) \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.21

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.21.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 6 \cdot (9 x^{2 \cdot 2}) \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.21.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 6 \cdot (9 x^{4}) \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez $9$ par $6$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 54 x^{4} \cdot {(2 y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $2 y^{3}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 54 x^{4} \cdot (2^{2} {(y^{3})}^{2}) + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.24

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 54 \cdot 2^{2} x^{4} {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.25

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 54 \cdot 4 x^{4} {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.26

Multipliez $54$ par $4$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.27

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.27.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{3 \cdot 2} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.27.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 4 \cdot {(3 x^{2})}^{1} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.28

Simplifiez

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 4 \cdot (3 x^{2}) \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.29

Multipliez $3$ par $4$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 12 x^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.30

Appliquez la règle de produit à $2 y^{3}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 12 x^{2} \cdot (2^{3} {(y^{3})}^{3}) + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.31

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 12 \cdot 2^{3} x^{2} {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.32

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 12 \cdot 8 x^{2} {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.33

Multipliez $12$ par $8$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.34

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{3}$ .

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Étape 4.34.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{3 \cdot 3} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.34.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 1 \cdot {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.35

Multipliez ${(3 x^{2})}^{0}$ par $1$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + {(3 x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.36

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 3^{0} {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.37

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 1 {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.38

Multipliez ${(x^{2})}^{0}$ par $1$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.39

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.39.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.39.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + x^{0} \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.40

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 1 \cdot {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.41

Multipliez ${(2 y^{3})}^{4}$ par $1$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + {(2 y^{3})}^{4}$

Étape 4.42

Appliquez la règle de produit à $2 y^{3}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 2^{4} {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.43

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 16 {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.44

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{4}$ .

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Étape 4.44.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 16 y^{3 \cdot 4}$

Étape 4.44.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$81 x^{8} + 216 x^{6} y^{3} + 216 x^{4} y^{6} + 96 x^{2} y^{9} + 16 y^{12}$