Algèbre Exemples

$\frac{2}{2 x^{2} - x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} - (x) - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$\frac{2}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + x - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1) (x - 1)} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) ({(x - 1)}^{1} (x - 1))} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4.3

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1}} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}} + \frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}} + \frac{3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $(2 x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)} + \frac{3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 1) + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 x (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x - 2 + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 x - 2 + 6 x^{2} + 3 x}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.7

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$\frac{5 x - 2 + 6 x^{2}}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$

Étape 6.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 2}{{(x - 1)}^{2} (2 x + 1)}$