Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 25} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 16 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 6

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 4, - 4$

$x = 5, - 5$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = 4, - 4, 5, - 5$

Étape 12

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 25}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 25}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 12.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 12.2.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 12.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 12.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 12.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 12.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 5$

$x > 5$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 16}{{(- 8)}^{2} - 25} < 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $1.\overline{230769}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4.5$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $- 4.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} - 16}{{(- 4.5)}^{2} - 25} < 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 0.89473684$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 16}{{(0)}^{2} - 25} < 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $0.64$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4.5$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $4.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4.5)}^{2} - 16}{{(4.5)}^{2} - 25} < 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $- 0.89473684$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 14.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(8)}^{2} - 16}{{(8)}^{2} - 25} < 0$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $1.\overline{230769}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 4$ Faux

$4 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 4$ Faux

$4 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < - 4$ ou $4 < x < 5$

Étape 16

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, - 4) \cup (4, 5)$

Étape 17