Algèbre Exemples

$2 x^{- 2} - 19 x^{- 1} + 42 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{x^{2}}) - 19 x^{- 1} + 42 = 0$

Étape 2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} - 19 x^{- 1} + 42 = 0$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} - 19 \frac{1}{x} + 42 = 0$

Étape 4

Associez $- 19$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{- 19}{x} + 42 = 0$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{19}{x} + 42 = 0$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{19}{x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 7

Pour écrire $- \frac{19}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{19}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{19}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{19 x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 8.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{19 x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 8.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{19 x}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{19 x}{x^{1 + 1}} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{19 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 19 x + 2}{x^{2}} + 42 = 0$

Étape 10

Pour écrire $42$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 19 x + 2}{x^{2}} + \frac{42 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 19 x + 2 + 42 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 12

Factorisez par regroupement.

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Étape 12.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{42 x^{2} - 19 x + 2}{x^{2}} = 0$

Étape 12.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 42 \cdot 2 = 84$ et dont la somme est $b = - 19$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $- 19$ à partir de $- 19 x$ .

$\frac{42 x^{2} - 19 x + 2}{x^{2}} = 0$

Étape 12.2.2

Réécrivez $- 19$ comme $- 7$ plus $- 12$

$\frac{42 x^{2} + (- 7 - 12) x + 2}{x^{2}} = 0$

Étape 12.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{42 x^{2} - 7 x - 12 x + 2}{x^{2}} = 0$

Étape 12.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 12.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(42 x^{2} - 7 x) - 12 x + 2}{x^{2}} = 0$

Étape 12.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{7 x (6 x - 1) - 2 (6 x - 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $6 x - 1$ .

$\frac{(6 x - 1) (7 x - 2)}{x^{2}} = 0$

Étape 13

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(6 x - 1) (7 x - 2) = 0$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 14.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$6 x - 1 = 0$

$7 x - 2 = 0$

Étape 14.2

Définissez $6 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.1

Définissez $6 x - 1$ égal à $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Étape 14.2.2

Résolvez $6 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 1$

Étape 14.2.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 1$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 14.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 1$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Étape 14.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 14.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Étape 14.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Étape 14.3

Définissez $7 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.3.1

Définissez $7 x - 2$ égal à $0$ .

$7 x - 2 = 0$

Étape 14.3.2

Résolvez $7 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 2$

Étape 14.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 2$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 14.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 2$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Étape 14.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 14.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Étape 14.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Étape 14.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(6 x - 1) (7 x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{6}, \frac{2}{7}$