Algèbre Exemples

$\frac{5}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x - 2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x - 2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{5}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x - 2} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{2}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{x} + \frac{5 - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x} + \frac{5 - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 - 2 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.5.3

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $\frac{2}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Étape 2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x + 2) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x ((x + 2) (x - 2))} + \frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{- 2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x ((x + 2) (x - 2))} + \frac{(- 2 x + 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Étape 2.8.3

Réorganisez les facteurs de $x ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Étape 2.8.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 ((x + 2) (x - 2)) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.3

Développez $(2 x + 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x - 2) + 4 (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 8 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 + (- 2 x + 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 x \cdot x + 1 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 (x \cdot x) + 1 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 x^{2} + 1 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 - 2 x^{2} + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{0 - 8 + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.9

Soustrayez $8$ de $0$ .

$\frac{- 8 + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{- 1 (8) + x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 1 (8) - 1 (- x)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (8) - 1 (- x)$ .

$\frac{- 1 (8 - x)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 - x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 - x = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 8$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x = 8$