Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x - 24}{x^{2} + 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{x^{2} + 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 6}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 6}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 6}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x + 4)} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x + 4)} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + 3} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

Étape 5

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + x - 1)$

Étape 6.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} + 0 - 1)$

Étape 6.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - 1)$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{x + 3}$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x + 3}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 3}$

Étape 8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 3}$