Algèbre Exemples

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{40}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 x - 1, 2 x + 1, 40$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Les facteurs premiers pour $40$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.4.1

$40$ a des facteurs de $2$ et $20$ .

$2 \cdot 20$

Étape 1.4.2

$20$ a des facteurs de $2$ et $10$ .

$2 \cdot 2 \cdot 10$

Étape 1.4.3

$10$ a des facteurs de $2$ et $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Étape 1.5

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 5$

Étape 1.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cdot 5$

Étape 1.5.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$40$

Étape 1.6

Le facteur pour $2 x - 1$ est $2 x - 1$ lui-même.

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $2 x + 1$ est $2 x + 1$ lui-même.

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $2 x - 1, 2 x + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(2 x - 1) (2 x + 1)$

Étape 1.9

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$40 (2 x - 1) (2 x + 1)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{40}$ par $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{40}$ par $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2 x - 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$40 \frac{1}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.2

Associez $40$ et $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{40}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x + 1)) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$40 (2 x + 1) - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$40 (2 x) + 40 \cdot 1 - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $2$ par $40$ .

$80 x + 40 \cdot 1 - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $40$ par $1$ .

$80 x + 40 - \frac{1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 2.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 x + 1}$ dans le numérateur.

$80 x + 40 + \frac{- 1}{2 x + 1} (40 (2 x - 1) (2 x + 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.7.2

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$80 x + 40 + \frac{- 1}{2 x + 1} ((2 x + 1) (40 (2 x - 1))) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$80 x + 40 + \frac{- 1}{2 x + 1} ((2 x + 1) (40 (2 x - 1))) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$80 x + 40 - (40 (2 x - 1)) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $40$ par $- 1$ .

$80 x + 40 - 40 (2 x - 1) = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$80 x + 40 - 40 (2 x) - 40 \cdot - 1 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.10

Multipliez $2$ par $- 40$ .

$80 x + 40 - 80 x - 40 \cdot - 1 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.1.11

Multipliez $- 40$ par $- 1$ .

$80 x + 40 - 80 x + 40 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez les termes opposés dans $80 x + 40 - 80 x + 40$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Soustrayez $80 x$ de $80 x$ .

$0 + 40 + 40 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $0$ et $40$ .

$40 + 40 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $40$ et $40$ .

$80 = \frac{1}{40} (40 (2 x - 1) (2 x + 1))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $40$ à partir de $40 (2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$80 = \frac{1}{40} (40 ((2 x - 1) (2 x + 1)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$80 = \frac{1}{40} (40 ((2 x - 1) (2 x + 1)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$80 = (2 x - 1) (2 x + 1)$

Étape 2.3.2

Développez $(2 x - 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$80 = 2 x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1)$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$80 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 - 1 (2 x + 1)$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$80 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.3.1

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot 1$ et $- 1 (2 x)$ .

$80 = 2 x (2 x) + 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.2

Soustrayez $2 x$ de $1 \cdot 2 x$ .

$80 = 2 x (2 x) + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$80 = 2 x (2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$80 = 2 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

$80 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$80 = 2 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$80 = 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$80 = 4 x^{2} - 1$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{2} - 1 = 80$ .

$4 x^{2} - 1 = 80$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 80 + 1$

Étape 3.2.2

Additionnez $80$ et $1$ .

$4 x^{2} = 81$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 81$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 81$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{81}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{81}{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{81}{4}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{81}{4}}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{81}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{4}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{9}{2}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{9}{2}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{9}{2}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{9}{2}, - \frac{9}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{9}{2}, - \frac{9}{2}$

Forme décimale :

$x = 4.5, - 4.5$

Forme de nombre mixte :

$x = 4 \frac{1}{2}, - 4 \frac{1}{2}$