Algèbre Exemples

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$4 ((x + 2) (x - 2)) = (x + 5) (3 x)$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $4 (x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 4 (x + 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x + 4 \cdot 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$(4 x + 8) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.3

Développez $(4 x + 8) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x (x - 2) + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.4.1.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$4 x^{2} - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Étape 3.2

Simplifiez $(x + 5) \cdot (3 x)$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 16 = x (3 x) + 5 (3 x)$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 5 (3 x)$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 15 x$

Étape 3.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 (x \cdot x) + 15 x$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x^{2} + 15 x$

Étape 3.3

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} + 15 x = 4 x^{2} - 16$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 15 x - 4 x^{2} = - 16$

Étape 3.4.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + 15 x = - 16$

Étape 3.5

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 15 x + 16 = 0$

Étape 3.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 15 x + 16$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 15 x + 16 = 0$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $15 x$ .

$- (x^{2}) - (- 15 x) + 16 = 0$

Étape 3.6.1.3

Réécrivez $16$ comme $- 1 (- 16)$ .

$- (x^{2}) - (- 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Étape 3.6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 15 x)$ .

$- (x^{2} - 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 15 x) - 1 (- 16)$ .

$- (x^{2} - 15 x - 16) = 0$

Étape 3.6.2

Factorisez.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x^{2} - 15 x - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 16, 1$

Étape 3.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 16) (x + 1)) = 0$

Étape 3.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 16) (x + 1) = 0$

Étape 3.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 16 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.8

Définissez $x - 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x - 16$ égal à $0$ .

$x - 16 = 0$

Étape 3.8.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 16$

Étape 3.9

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.9.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 16) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 16, - 1$