Algèbre Exemples

$x^{6} + 6 x^{3} + 5 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 6 x^{3} + 5 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$u^{2} + 6 u + 5 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + 6 u + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 5) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 5) = 0$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1^{3}) (x^{3} + 5) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 5) = 0$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) (x^{3} + 5) = 0$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{3} + 5) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{3} + 5 = 0$

Étape 9

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{2} - x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 10.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 10.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 10.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 11

Définissez $x^{3} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{3} + 5$ égal à $0$ .

$x^{3} + 5 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{3} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 5$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 5}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\sqrt[3]{- 5}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 5$ .

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Étape 11.2.3.1.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (5)}$

Étape 11.2.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 5}$

Étape 11.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{5}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{5}$ comme $- \sqrt[3]{5}$ .

$x = - \sqrt[3]{5}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{3} + 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{5}$