Algèbre Exemples

$\frac{x - 4}{x + 4} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 4}{x + 4} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 4}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x + 1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 4}{x + 4}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 1}{x - 1}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Développez $(x - 4) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + (- x - 1) (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.5

Développez $(- x - 1) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4) + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 4 x - x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} - 5 x - 4 + x$ .

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Étape 7.1.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 0 - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7.1.2

Additionnez $- 5 x + 4$ et $0$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 4 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{- 5 x - 5 x + 0 + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7.1.4

Additionnez $- 5 x - 5 x$ et $0$ .

$\frac{- 5 x - 5 x + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7.3

Additionnez $- 10 x$ et $x$ .

$\frac{- 9 x}{(x + 4) (x - 1)}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 x}{(x + 4) (x - 1)}$