Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \div \frac{x^{3} - x^{2} - 6 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 7 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $7 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 7} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 7$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x^{2} - 6 x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} - x^{2} - 6 x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) - 6 x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 6}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x) + x \cdot - 6}$

Étape 5.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - x) + x \cdot - 6$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x - 6)}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x ((x - 3) (x + 2))}$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x - 3) (x + 2)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) (x (x - 3) (x + 2))}$

Étape 7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x \cdot x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1} x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1 + 2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x^{3}}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{x - 2}{x^{3}}$ en deux fractions.

$\frac{x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 12.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 12.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 12.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 12.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 12.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$