Algèbre Exemples

$\log_{4} (100)$

Étape 1

Réécrivez $\log_{4} (100)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (100)}{\log (4)}$

Étape 2

La base logarithmique $10$ de $100$ est $2$ .

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Étape 2.1

Réécrivez comme une équation.

$\frac{\log (100) = x}{\log (4)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\log (100) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$\frac{10^{x} = 100}{\log (4)}$

Étape 2.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$\frac{10^{x} = 10^{2}}{\log (4)}$

Étape 2.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$\frac{x = 2}{\log (4)}$

Étape 2.5

La variable $x$ est égale à $2$ .

$\frac{2}{\log (4)}$

Étape 3

Réécrivez $\log (4)$ comme $\log (2^{2})$ .

$\frac{2}{\log (2^{2})}$

Étape 4

Développez $\log (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{2}{2 \log (2)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 \log (2)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\log (2)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{\log (2)}$

Forme décimale :

$3.32192809 \dots$