Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 5}{x^{2} - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 9)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 3^{2})} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - (\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x})$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{(x + 3) (x - 3) x}$

Étape 2.5

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) (x - 3) x$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x + 5) (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Développez $(2 x + 5) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $6 x$ et $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1 \cdot 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x \cdot x - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x \cdot x) - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2.7

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 11 x + 15 - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x$ de $11 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x) - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4.4

Soustrayez $3 x$ de $10 x$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 15 - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4.5

Soustrayez $5$ de $15$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4.6

Factorisez $x^{2} + 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 4.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$