Algèbre Exemples

$27 x^{6} + 64$

Étape 1

Réécrivez $27 x^{6}$ comme ${(3 x^{2})}^{3}$ .

${(3 x^{2})}^{3} + 64$

Étape 2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

${(3 x^{2})}^{3} + 4^{3}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 3 x^{2}$ et $b = 4$ .

$(3 x^{2} + 4) ({(3 x^{2})}^{2} - (3 x^{2}) \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 4) (3^{2} {(x^{2})}^{2} - (3 x^{2}) \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(3 x^{2} + 4) (9 {(x^{2})}^{2} - (3 x^{2}) \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{2 \cdot 2} - (3 x^{2}) \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{4} - (3 x^{2}) \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{4} - 12 x^{2} + 4^{2})$

Étape 4.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{4} - 12 x^{2} + 16)$

Étape 4.7

Factorisez.

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Étape 4.7.1

Réécrivez $9 x^{4} - 12 x^{2} + 16$ en forme factorisée.

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Étape 4.7.1.1

Réécrivez le point milieu.

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{4} + 2 (3 x^{2}) \cdot 4 - 36 x^{2} + 16)$

Étape 4.7.1.2

Réorganisez les termes.

$(3 x^{2} + 4) (9 x^{4} + 2 (3 x^{2}) \cdot 4 + 16 - 36 x^{2})$

Étape 4.7.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$(3 x^{2} + 4) ({(3 x^{2} + 4)}^{2} - 36 x^{2})$

Étape 4.7.1.4

Réécrivez $36 x^{2}$ comme ${(6 x)}^{2}$ .

$(3 x^{2} + 4) ({(3 x^{2} + 4)}^{2} - {(6 x)}^{2})$

Étape 4.7.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x^{2} + 4$ et $b = 6 x$ .

$(3 x^{2} + 4) ((3 x^{2} + 4 + 6 x) (3 x^{2} + 4 - (6 x)))$

Étape 4.7.1.6

Simplifiez

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Étape 4.7.1.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(3 x^{2} + 4) ((3 x^{2} + 6 x + 4) (3 x^{2} + 4 - (6 x)))$

Étape 4.7.1.6.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$(3 x^{2} + 4) ((3 x^{2} + 6 x + 4) (3 x^{2} + 4 - 6 x))$

Étape 4.7.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(3 x^{2} + 4) ((3 x^{2} + 6 x + 4) (3 x^{2} - 6 x + 4))$

Étape 4.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x^{2} + 4) (3 x^{2} + 6 x + 4) (3 x^{2} - 6 x + 4)$