Algèbre Exemples

$4 x^{4} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 u^{2} + 27 u - 81 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 81 = - 324$ et dont la somme est $b = 27$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $27$ à partir de $27 u$ .

$4 u^{2} + 27 (u) - 81 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $27$ comme $- 9$ plus $36$

$4 u^{2} + (- 9 + 36) u - 81 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 9 u + 36 u - 81 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 9 u) + 36 u - 81 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 9) + 9 (4 u - 9) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u + 9) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 9

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 10

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 11.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 11.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 11.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 3 i, - 3 i$