Algèbre Exemples

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{x}{x - 3}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{2 x}{x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} = - \frac{x}{x - 3}$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{x}{x - 3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{2 x}{x - 1}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - (\frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) + \frac{x}{x - 3} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{2 x}{x - 1}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{x}{x - 3}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{x}{x - 3}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - 2 x (x - 3) + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x \cdot x + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - 1 \cdot x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.7

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.5

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{5 - x^{2} + 6 x - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $x$ de $6 x$ .

$\frac{5 - x^{2} + 5 x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $5 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.11

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- (x^{2} - 5 x - 5)$ comme $- 1 (x^{2} - 5 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 5 x - 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.4.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$x = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$