Algèbre Exemples

$\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x^{2} - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x^{2} - 1^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - (x - 1) - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x - 1) - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x - 1) - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - (x - 1) - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x - x - - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x - x + 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x - x + 1 - 2$ .

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Étape 2.8.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 + 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.10.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{x - 1} = 0$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 1}{x - 1} = 0$

Étape 2.12.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 0$

Étape 3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution