Algèbre Exemples

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) (a - \frac{a^{2}}{a + b})$

Étape 1

Pour écrire $a$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) (\frac{a (a + b)}{a + b} - \frac{a^{2}}{a + b})$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (a + b) - a^{2}}{a + b}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $a$ à partir de $a (a + b) - a^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $a$ à partir de $- a^{2}$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (a + b) + a (- a)}{a + b}$

Étape 3.1.2

Factorisez $a$ à partir de $a (a + b) + a (- a)$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (a + b - a)}{a + b}$

Étape 3.2

Soustrayez $a$ de $a$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a (b + 0)}{a + b}$

Étape 3.3

Additionnez $b$ et $0$ .

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \frac{a b}{a + b}$

Étape 4

Multipliez $\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ par $\frac{a b}{a + b}$ .

$\frac{(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) (a b)}{a + b}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{a}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{b}{a}) a b}{a + b}$

Étape 5.2

Pour écrire $- \frac{b}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{a} - \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{b}) a b}{a + b}$

Étape 5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $b a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{a}{b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(\frac{a \cdot a}{b a} - \frac{b}{a} \cdot \frac{b}{b}) a b}{a + b}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{b}{a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(\frac{a \cdot a}{b a} - \frac{b \cdot b}{a b}) a b}{a + b}$

Étape 5.3.3

Réorganisez les facteurs de $b a$ .

$\frac{(\frac{a \cdot a}{a b} - \frac{b \cdot b}{a b}) a b}{a + b}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{a \cdot a - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{a^{1} a - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.5.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{a^{1} a^{1} - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{a^{1 + 1} - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{a^{2} - b \cdot b}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.5.5

Réécrivez $b \cdot b$ comme $b^{2}$ .

$\frac{\frac{a^{2} - b^{2}}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{\frac{(a + b) (a - b)}{a b} a b}{a + b}$

Étape 5.6

Associez les exposants.

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{(a + b) (a - b)}{a b}$ et $a$ .

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) a}{a b} b}{a + b}$

Étape 5.6.2

Associez $\frac{(a + b) (a - b) a}{a b}$ et $b$ .

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) a b}{a b}}{a + b}$

Étape 5.7

Réduisez l’expression $\frac{(a + b) (a - b) a b}{a b}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) a b}{a b}}{a + b}$

Étape 5.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) b}{b}}{a + b}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 5.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(a + b) (a - b) b}{b}}{a + b}$

Étape 5.8.2

Divisez $(a + b) (a - b)$ par $1$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{a + b}$

Étape 5.9

Développez $(a + b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a - b) + b (a - b)}{a + b}$

Étape 5.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a (- b) + b (a - b)}{a + b}$

Étape 5.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)}{a + b}$

Étape 5.10

Associez les termes opposés dans $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Étape 5.10.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $a (- b)$ et $b a$ .

$\frac{a \cdot a - a b + a b + b (- b)}{a + b}$

Étape 5.10.2

Additionnez $- a b$ et $a b$ .

$\frac{a \cdot a + 0 + b (- b)}{a + b}$

Étape 5.10.3

Additionnez $a \cdot a$ et $0$ .

$\frac{a \cdot a + b (- b)}{a + b}$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + b (- b)}{a + b}$

Étape 5.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} - b \cdot b}{a + b}$

Étape 5.11.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.3.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} - (b \cdot b)}{a + b}$

Étape 5.11.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}$

Étape 5.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{a + b}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + b) (a - b)}{a + b}$

Étape 6.2

Divisez $a - b$ par $1$ .

$a - b$