Algèbre Exemples

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) = 2 \log_{3} (x + 2)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $2 \log_{3} (6 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} ({(6 x)}^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\log_{3} (6^{2} x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Étape 2.1.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez $- 2 \log_{3} (x + 2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{36 x^{2}}{4 x}) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{36 x^{2}}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $36$ et $4$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 (x)}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{2}}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x^{1}}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x}{1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 2.1.5.2.5

Divisez $9 x$ par $1$ .

$\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$9 x = 3^{0} ({(x + 2)}^{2})$

Étape 5

Simplifiez $3^{0} ({(x + 2)}^{2})$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$9 x = 1 {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.1.2

Multipliez ${(x + 2)}^{2}$ par $1$ .

$9 x = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.1.3

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$9 x = (x + 2) (x + 2)$

Étape 5.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 5.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 5.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$9 x = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 x - x^{2} = 4 x + 4$

Étape 6.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$9 x - x^{2} - 4 x = 4$

Étape 6.3

Soustrayez $4 x$ de $9 x$ .

$- x^{2} + 5 x = 4$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 5 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x (- x) + 5 x = 4$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 5$ .

$x (- x + 5) = 4$

Étape 8

Simplifiez $x (- x + 5)$ .

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Étape 8.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Étape 8.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 8.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x + x \cdot 5 = 4$

Étape 8.1.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$- x \cdot x + 5 \cdot x = 4$

Étape 8.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) + 5 \cdot x = 4$

Étape 8.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + 5 \cdot x = 4$

$- x^{2} + 5 x = 4$

Étape 9

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 5 x - 4$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 5 x - 4 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $5 x$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 4 = 0$

Étape 10.1.3

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Étape 10.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Étape 10.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (4)$ .

$- (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Étape 10.2

Factorisez.

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Étape 10.2.1

Factorisez $x^{2} - 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 10.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Étape 10.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 4) (x - 1) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 4) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 4, 1$