Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 3 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 3 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 3$ .

$x^{2} (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 3) (x - 1) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3