Algèbre Exemples

$x^{- 3} = 64$

Étape 1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$x^{- 3} - 64 = 0$

Étape 2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - 64 = 0$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - 64 = 0$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 64 = 0$

Étape 5

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = \frac{1}{x}$ et $b = 4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 4^{2}) = 0$

Étape 7.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 16) = 0$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 8

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 9

Associez $- 4$ et $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 11

Pour écrire $\frac{4}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 12.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + 16) = 0$

Étape 14

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Étape 15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{4 x + 1 + 16 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Étape 17

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Étape 18

Définissez $\frac{1 - 4 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 18.1

Définissez $\frac{1 - 4 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

Étape 18.2

Résolvez $\frac{1 - 4 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 18.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - 4 x = 0$

Étape 18.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 18.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 1$

Étape 18.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 18.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 18.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 18.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 18.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 18.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 18.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 18.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 19

Définissez $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 19.1

Définissez $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Étape 19.2

Résolvez $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 19.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 19.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 19.2.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 19.2.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3

Simplifiez

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Étape 19.2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 19.2.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 19.2.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 19.2.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 19.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 19.2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 19.2.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 19.2.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Étape 19.2.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Étape 19.2.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 19.2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 19.2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 19.2.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 19.2.2.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 19.2.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 19.2.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Étape 19.2.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 19.2.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 20

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$