Algèbre Exemples

$\frac{2 x - 6}{x - 6} = \frac{x}{x + 2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x}{x + 2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x - 6}{x - 6} - \frac{x}{x + 2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x - 6}{x - 6} - \frac{x}{x + 2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 6}{x - 6} - \frac{x}{x + 2} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x - 6} - \frac{x}{x + 2} = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x - 6} - \frac{x}{x + 2} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{2 (x - 3)}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x - 6} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{x}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x - 6} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 6) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{2 (x - 3)}{x - 6}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (x - 3) (x + 2)}{(x - 6) (x + 2)} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{x}{x + 2}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{2 (x - 3) (x + 2)}{(x - 6) (x + 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) (x + 2)$ .

$\frac{2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 2) (x - 6)} - \frac{x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 3) (x + 2) - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x + 2) - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{(2 x - 6) (x + 2) - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.3

Développez $(2 x - 6) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x + 2) - 6 (x + 2) - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 (x + 2) - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2 - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2 - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2 - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 6 x - 6 \cdot 2 - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.4.1.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - 6 x - 12 - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $6 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x (x - 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x \cdot x - x \cdot - 6}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - (x \cdot x) - x \cdot - 6}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x^{2} - x \cdot - 6}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.7

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - x^{2} + 6 x}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.8

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 12 + 6 x}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.9

Additionnez $- 2 x$ et $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6.10

Factorisez $x^{2} + 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.6.10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $4$ .

$- 2, 6$

Étape 2.6.10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 6)}{(x + 2) (x - 6)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.3

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 2, - 6$