Algèbre Exemples

$\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} = \frac{- 20}{x^{2} + x - 6}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{- 20}{x^{2} + x - 6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} - \frac{- 20}{x^{2} + x - 6} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} - \frac{- 20}{x^{2} + x - 6}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} - \frac{- 20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} - - \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $- - \frac{20}{(x - 2) (x + 3)}$ .

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} + 1 \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $\frac{20}{(x - 2) (x + 3)}$ par $1$ .

$\frac{6}{x + 3} - \frac{5}{x - 2} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{6}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{x - 2} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{5}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{6}{x + 3}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{6 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{5}{x - 2}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{6 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5 (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{6 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x - 2) - 5 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{20}{(x - 2) (x + 3)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x - 2) - 5 (x + 3) + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 6 \cdot - 2 - 5 (x + 3) + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{6 x - 12 - 5 (x + 3) + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 12 - 5 x - 5 \cdot 3 + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{6 x - 12 - 5 x - 15 + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $5 x$ de $6 x$ .

$\frac{x - 12 - 15 + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $15$ de $- 12$ .

$\frac{x - 27 + 20}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Additionnez $- 27$ et $20$ .

$\frac{x - 7}{(x + 3) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 7 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$