Algèbre Exemples

$4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Étape 1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{5}$ .

$4 x (x^{4}) - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Étape 1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x = 0$

Étape 1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x$ .

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Étape 1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Étape 1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1)$ .

$4 x (x^{4} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 x (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$4 x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$4 x {(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$4 x {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$4 x ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 11

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 11.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 11.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 12

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 12.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 12.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$