Algèbre Exemples

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 2 x - 1$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$

Étape 2

Résolvez $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$1 - x^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$1 - x^{2} = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Étape 2.2.3.1.2

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Étape 2.2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Étape 2.2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Étape 2.2.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 1 - x^{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 4 x + 1 + x^{2} = 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$5 x^{2} - 4 x + 1 = 1$

Étape 2.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} - 4 x + 1 - 1 = 0$

Étape 2.3.4

Associez les termes opposés dans $5 x^{2} - 4 x + 1 - 1$ .

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Étape 2.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$5 x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Étape 2.3.4.2

Additionnez $5 x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$5 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.3.5

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$x (5 x) - 4 x = 0$

Étape 2.3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x (5 x) + x \cdot - 4 = 0$

Étape 2.3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x) + x \cdot - 4$ .

$x (5 x - 4) = 0$

Étape 2.3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x - 4 = 0 + y = 2 x - 1$

Étape 2.3.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.8

Définissez $5 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.8.1

Définissez $5 x - 4$ égal à $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Étape 2.3.8.2

Résolvez $5 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.8.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 4$

Étape 2.3.8.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.3.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.3.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Étape 2.3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (5 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Étape 2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$ vrai.

$x = \frac{4}{5}$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{4}{5}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{5}$ .

$y = 2 (\frac{4}{5}) - 1$

Étape 3.2

Simplifiez $2 (\frac{4}{5}) - 1$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $2 (\frac{4}{5})$ .

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Étape 3.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{2 \cdot 4}{5} - 1$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{8}{5} - 1$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{8 - 1 \cdot 5}{5}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{8 - 5}{5}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $5$ de $8$ .

$y = \frac{3}{5}$

Étape 4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Forme de l’équation :

$x = \frac{4}{5}, y = \frac{3}{5}$

Étape 6