Algèbre Exemples

$\log_{3} (x + 4) - \log_{3} (x + 2) = \log_{3} (27)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = \log_{3} (27)$

Étape 2

La base logarithmique $3$ de $27$ est $3$ .

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Étape 2.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{3} (27) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{3} (27) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 27$

Étape 2.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{3}$

Étape 2.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 2.5

La variable $x$ est égale à $3$ .

$\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = 3$

Étape 3

Réécrivez $\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{3} = \frac{x + 4}{x + 2}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x + 4 = 3^{3} (x + 2)$

Étape 5

Simplifiez $3^{3} (x + 2)$ .

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Étape 5.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x + 4 = 27 (x + 2)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 4 = 27 x + 27 \cdot 2$

Étape 5.3

Multipliez $27$ par $2$ .

$x + 4 = 27 x + 54$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $27 x$ des deux côtés de l’équation.

$x + 4 - 27 x = 54$

Étape 6.2

Soustrayez $27 x$ de $x$ .

$- 26 x + 4 = 54$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $- 26 x + 4$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26 x$ .

$2 (- 13 x) + 4 = 54$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (- 13 x) + 2 (2) = 54$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 13 x) + 2 (2)$ .

$2 (- 13 x + 2) = 54$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 (- 13 x + 2) = 54$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 (- 13 x + 2) = 54$ par $2$ .

$\frac{2 (- 13 x + 2)}{2} = \frac{54}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 13 x + 2)}{2} = \frac{54}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $- 13 x + 2$ par $1$ .

$- 13 x + 2 = \frac{54}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $54$ par $2$ .

$- 13 x + 2 = 27$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 13 x = 27 - 2$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $27$ .

$- 13 x = 25$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $- 13 x = 25$ par $- 13$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $- 13 x = 25$ par $- 13$ .

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{25}{- 13}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $- 13$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{25}{- 13}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{25}{- 13}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{25}{13}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{25}{13}$

Forme décimale :

$x = - 1.\overline{923076}$

Forme de nombre mixte :

$x = - 1 \frac{12}{13}$