Algèbre Exemples

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Étape 1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Étape 2

Réécrivez $r^{\frac{6}{5}}$ comme ${(r^{\frac{2}{5}})}^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 64 = 0$

Étape 3

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = r^{\frac{2}{5}}$ et $b = 4$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $r^{\frac{2}{5}}$ comme ${(r^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2^{2}) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r^{\frac{1}{5}}$ et $b = 2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.4

Multipliez les exposants dans ${(r^{\frac{2}{5}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2}{5} \cdot 2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.4.2

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot 2$ .

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Étape 5.4.2.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2 \cdot 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.5

Déplacez $4$ à gauche de $r^{\frac{2}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 4^{2}) = 0$

Étape 5.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6

Simplifiez $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ .

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Étape 6.1

Développez $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(r^{\frac{1}{5}} (r^{\frac{1}{5}} - 2) + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Associez les termes opposés dans $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 6.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2$ et $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} - 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 2 r^{\frac{1}{5}}$ et $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 0 + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}}$ et $0$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $r^{\frac{1}{5}}$ par $r^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(r^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(r^{\frac{1 + 1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2.2.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$(r^{\frac{2}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Étape 6.3

Développez $(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$r^{\frac{2}{5}} (4 r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $r^{\frac{2}{5}}$ par $r^{\frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.2.1

Déplacez $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 (r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 r^{\frac{2}{5} + \frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 r^{\frac{2 + 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.2.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $r^{\frac{2}{5}}$ par $r^{\frac{4}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2 + 4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.4

Déplacez $16$ à gauche de $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 \cdot r^{\frac{2}{5}} - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.5

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 6.4.1.6

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Étape 6.4.2

Associez les termes opposés dans $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64$ .

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $16 r^{\frac{2}{5}}$ de $16 r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 0 - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}}$ et $0$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Étape 6.4.2.3

Soustrayez $4 r^{\frac{4}{5}}$ de $4 r^{\frac{4}{5}}$ .

$r^{\frac{6}{5}} + 0 - 64 = 0$

Étape 6.4.2.4

Additionnez $r^{\frac{6}{5}}$ et $0$ .

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Étape 7

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Étape 8

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{6}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.1

Simplifiez ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Étape 9.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 9.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$r^{1} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez

$r = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $\pm 64^{\frac{5}{6}}$ .

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Étape 9.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1.1.1

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$r = \pm {(2^{6})}^{\frac{5}{6}}$

Étape 9.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Étape 9.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$r = \pm 2^{5}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$r = \pm 32$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = 32$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - 32$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = 32, - 32$