Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{- 16}}{3 - 3 i + (1 - 2 i)}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\sqrt{- 16}}{3 - 3 i + 1 - 2 i}$

Étape 2

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$\frac{\sqrt{- 1 (16)}}{3 - 3 i + 1 - 2 i}$

Étape 2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{3 - 3 i + 1 - 2 i}$

Étape 2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{16}}{3 - 3 i + 1 - 2 i}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i \cdot \sqrt{16}}{4 - 5 \cdot i}$ par le conjugué de $4 - 5 \cdot i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{i \cdot \sqrt{16}}{4 - 5 \cdot i} \cdot \frac{4 + 5 i}{4 + 5 i}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{i \cdot \sqrt{16} (4 + 5 i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{4^{2}} (4 + 5 i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{i \cdot 4 (4 + 5 i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$\frac{4 \cdot i (4 + 5 i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 i \cdot 4 + 4 i (5 i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 i + 4 i (5 i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.6

Multipliez $4 i (5 i)$ .

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{16 i + 20 i i}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 i + 20 (i^{1} i)}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 i + 20 (i^{1} i^{1})}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 i + 20 i^{1 + 1}}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{16 i + 20 i^{2}}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.7.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{16 i + 20 \cdot - 1}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.7.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$\frac{16 i - 20}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.2.8

Remettez dans l’ordre $16 i$ et $- 20$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Développez $(4 - 5 \cdot i) (4 + 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 + 16 i}{4 (4 + 5 i) - 5 \cdot i (4 + 5 i)}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 + 16 i}{4 \cdot 4 + 4 (5 i) - 5 \cdot i (4 + 5 i)}$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 + 16 i}{4 \cdot 4 + 4 (5 i) - 5 \cdot i \cdot 4 - 5 \cdot i (5 i)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 4 (5 i) - 5 \cdot i \cdot 4 - 5 \cdot i (5 i)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 5 \cdot i \cdot 4 - 5 \cdot i (5 i)}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 20 \cdot i - 5 \cdot i (5 i)}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 20 \cdot i - 25 \cdot i i}$

Étape 4.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 20 \cdot i - 25 \cdot (i^{1} i)}$

Étape 4.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 20 \cdot i - 25 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 20 \cdot i - 25 \cdot i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 20 i - 20 \cdot i - 25 \cdot i^{2}}$

Étape 4.3.2.9

Soustrayez $20 \cdot i$ de $20 i$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 0 - 25 \cdot i^{2}}$

Étape 4.3.2.10

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 - 25 \cdot i^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 - 25 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{16 + 25}$

Étape 4.3.4

Additionnez $16$ et $25$ .

$\frac{- 20 + 16 i}{41}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{- 20 + 16 i}{41}$ en deux fractions.

$\frac{- 20}{41} + \frac{16 i}{41}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20}{41} + \frac{16 i}{41}$