Algèbre Exemples

$\frac{3 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $x^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x \cdot x^{2} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} + (- x - 1 \cdot 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 x^{3} + (- x - 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.4

Développez $(- x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} - x (x - 2) - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 0 + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.5.3

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.6

Factorisez $3 x^{3} - x^{2} + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 6.6.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Étape 6.6.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.6.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$3 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 6.6.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 6.6.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 - {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 6.6.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 3 - 1 \cdot 1 + 4$

Étape 6.6.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 - 1 + 4$

Étape 6.6.3.6

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$- 4 + 4$

Étape 6.6.3.7

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 6.6.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x + 1}$

Étape 6.6.5

Divisez $3 x^{3} - x^{2} + 4$ par $x + 1$ .

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Étape 6.6.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 6.6.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Étape 6.6.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 6.6.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 6.6.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 6.6.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 6.6.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 6.6.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 6.6.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 4 x$

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 6.6.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Étape 6.6.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 6.6.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 6.6.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 6.6.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 4$

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Étape 6.6.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Étape 6.6.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} - 4 x + 4$

Étape 6.6.6

Écrivez $3 x^{3} - x^{2} + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{(x + 1) (3 x^{2} - 4 x + 4)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$