Algèbre Exemples

${(2 x - \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{2 - k} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{2 - 0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{2 - 1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{2 - 2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{2}$ par $1$ .

${(2 x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{2} x^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} \cdot (1 \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ par $1$ .

$4 x^{2} \cdot \frac{1^{0}}{2^{0}} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} \cdot \frac{1}{2^{0}} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} \cdot \frac{1}{1} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.9

Divisez $1$ par $1$ .

$4 x^{2} \cdot 1 + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.11

Simplifiez

$4 x^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.13

Simplifiez

$4 x^{2} + 4 x \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$4 x^{2} + 4 x \cdot \frac{- 1}{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.14.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$4 x^{2} + 2 (2 x) \cdot \frac{- 1}{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.14.3

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} + 2 (2 x) \cdot \frac{- 1}{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.14.4

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.16

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.17

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 2^{0} x^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.18

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 x^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.19

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + x^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.20

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.21

Multipliez ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.22

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.22.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.22.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.23

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.24

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.25

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 x^{2} - 2 x + \frac{1}{2^{2}}$

Étape 4.26

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4}$